GEOMETRI BANGUN RUANG : Polyhedron dan Polyhedra

GEOMETRI BANGUN RUANG

1.        Pendahuluan

Bumi merupakan salah satu bentuk keruangan yang menjadi tempat tinggal manusia. Keruangan lain yang bersangkutan dengan kehidupan manusia seperti ruang makan, ruang tamu, ruang kelas, ruang kamar, dan lain sebagainya. Benda-benda di sekitar kehidupan manusia pun tidak jauh dari keruangan layaknya, TV, almari, kotak, kaleng, bak mandi, tangki air, tempat tidur,  kotak pensil, penghapus papan, kotak kapur, meja,  dan lain sebagainya. Hal ini menunjukkan bahwa kehidupan manusia tidak dapat dilepaskan dari keruangan.

Konsep keruangan adalah salah satu konsep dalam matematika yang perlu untuk dipelajari. Konsep keruangan tersebut melibatkan bangun ruang yang ada disekitar manusia. Bangun ruang sendiri adalah bangun yang masih bersifat abstrak dan memerlukan penjelasan lebih lanjut. Diperlukan daya imajinasi yang tinggi untuk mempelajarinya. Banyak siswa yang menganggap bahwa konsep keruangan itu sulit karena siswa belum menggunakan daya imajinasinya sepenuhnya. Untuk itu pemahaman keruangan perlu dimantapkan melalui konsep geometri keruangan.

2. Materi

A. Pengertian Geometri Bangun Ruang

Geometri merupakan bagian matematika yang membahas tentang bentuk dan ukuran dari suatu obyek yang memiliki keteraturan tertentu (Clemens, 1985). Bangun ruang adalah bagian ruang yang dibatasi oleh himpunan-himpunan titik yang terdapat pada seluruh permukaan bangun tersebut. Permukaan bangun itu disebut sisi. Bangun ruang disebut juga sebagai bangun matematika yang memiliki isi atau volume.

B. Pengertian Polyhedron

            Dalam geometri, polihedron adalah bangun ruang tiga dimensi dengan permukaan poligon datar (sisi), tepi lurus (rusuk) dan sudut tajam. Kata polyhedron berasal dari bahasa Yunani Klasik poly yang berarti banyak dan hedron yang berarti alas. Suatu bidang-banyak (polyhedron) adalah gabungan dari sejumlah terhingga (finite) daerah-daerah segibanyak, sedemikian, sehingga: setiap sisi dari suatu daerah segibanyak merupakan sebuah sisi dari tepat sebuah segibanyak yang lain, dan jika sisi-sisi dari daerah-daerah segibanyak tersebut berpotongan, maka sisi-sisi tersebut berpotongan pada satu titik atau pada sebuah sisi. Suatu bidang-banyak mempunyai bagian-bagian serupa dengan sebuah segibanyak.

a.      Macam – Macam Polyhedron

            Seperti dalam bahasan segibanyak, klasifikasi bidang-banyak didasarkan pada banyak permukaan (bidang-sisi)-nya, yaitu:

Jenis bidang-banyak (Polyhedron)		Banyak Permukaan
Bidang-empat	Tetrahedron	4 buah
Bidang-lima	Pentahedron	5 buah
Bidang-enam	Hexahedron	6 buah
Bidang-tujuh	Heptahedron	7 buah
Bidang-delapan	Octahedron	8 buah
Bidang-sembilan	Nanohedron	9 buah
Bidang-sepuluh	Decahedron	10 buah
Bidang-sebelas	Undecahedron	11 buah
Bidang-duabelas	Dodecahedron	12 buah
Bidang-duapuluh	Icosahedron	20 buah

 Gambar jenis-jenis polyhedron

C. Pengertian Polyhedra

            Suatu bidang-banyak-konveks dikatakan beraturan, jika dan hanya jika, bidang-banyak tersebut permukaan-permukaan berupa daerah-daerah segibanyak beraturan dan setiap sudut-polihedralnya mempunyai sudut permukaan sama banyak. Hanya ada lima kemungkinan polyhedran, yaitu terbentuk dari: (1) tiga buah segitiga samasisi; (2) empat buah segitiga samasisi; (3) lima buah segitiga samasisi; (4) tiga buah persegi; (5) tiga buah segilima beraturan

a.       Macam – Macam Polyhedra

Jenis bidang banyak-beraturan (polyhedra)		Banyak permukaan (sisi)
Bidang-empat beraturan	Tetrahedran	4 buah
Bidang-enam beraturan	Hexahedra	6 buah
Bidang-delapan beraturan	Octahedral	8 buah
Bidang-duabelas beraturan	Dodecahedra	12 buah
Bidang-duapuluh beraturan	Icosahedra	20 buah

b.      Gambar jenis-jenis polyhedra

 

c.       Polyhedran Semireguler

    Beberapa polyhedra memiliki dua atau lebih sisi dengan tipe  poligon. Polyhedra yang sisinya dua atau lebih poligon dengan susunan poligon yang sama di sekitar setiap sudut disebut polihedra semiregular.

d.      Gambar jenis polyhedra semireguler

e. Perbedaan Polyhedron dan Polyhedra

Polyhedron	Polyhedra
Tersusun dari permukaan sisi yang bentuknya berbeda	Tersusun dari permukaan yang bentuknya sama (kongruen)
Rusuknya memiliki panjang yang berbeda	Semua rususknya sama panjang
Sudut permukaannya berbeda	Semua sudut permukaannya sama besar

D. Segi Banyak Konveks Dan Konkaf

            A. Konveks

Suatu bidang-banyak dikatakan konveks, jika dan hanya jika, setiap bidang yang memuat sebuah permukaan dari bidang-banyak tersebut terdapat dua titik yang apabila ditarik garis lurus, ruas garis tersebut berada di dalam bangun ruang.

         B. Konkaf

Suatu bangun ruang dikatakan konkaf apabila memuat ruas garis yang menghubungkan dua titik pada sisinya dengan sebagian atau seluruh garis tersebut terletak di bagian luar bangun ruang.

            Contoh bangun ruang konkaf:

 

E. Rumus Euler

a. Sejarah Euler

Leonhard Euler dari Swiss dianggap sebagai penulis paling produktif dalam sejarah matematika. Dia menerbitkan lebih dari 850 buku dan makalah, dan sebagian besar cabang matematika berisi teorema-teoremanya. Leonardo sendiri adalah pencetus teorema euler.

b. Rumus Euler

Setiap bangun ruang (polihedron) yang tertutup tunduk pada suatu persamaan umum yang menghubungkan jumlah titik sudut, jumlah rusuk, dan jumlah sisinya. Persamaan itu dikenal dengan persamaan Euler untuk bangun polihedron. Rumus euler tersebut yaitu:

V + F – E = 2

V = banyaknya titik sudut (vertex)

F = banyaknya permukaan atau sisi (face)

E = Banyaknya rusuk (edge)

 

Maksud yang ingin disampaikan oleh rumus Euler ini adalah banyaknya titik sudut dikurangi banyaknya rusuk kemudian ditambahkan dengan banyaknya permukaan akan selalu menghasilkan nilai dua. Walau rumus Euler terlihat sangat sederhana, rumus ini merangkum sifat-sifat bangun ruang.

Nama	Gambar	Sisi	Titik Sudut	Rusuk	Jumlah sisi + Titik sudut	V + F - E = 2
Limas Segitiga (Tetrahedron)		4	4	6	4 + 4 = 8	4 + 4 - 6 = 2
Kubus (Heksahedron)		6	8	12	6 + 8 = 14	6 + 8 – 12 = 2
Oktahedron		8	6	12	8 + 6 = 14	8 + 6 – 12 = 2
Dodekahedron		12	20	30	12 + 20 = 32	12 + 20 – 30 = 2
Ikosahedron		20	12	30	20 + 12 = 32	20 + 12 – 30 = 2

F. Non-Simple Polyhedron

Bangun ruang yang memiliki lubang di dalamnya. Bangun ruang ini tidak memenuhi rumus Eular karena rumus Eular hanya berlaku pada bangun yang tertutup. 

Bangun non-simple Polyhedron ditunjukkan di bawah ini :

 

G. Unsur-unsur Bangun Ruang

1.      Sisi adalah bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya

2.      Rusuk adalah pertemuan dua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang

3.      Titik sudut adalah titik dari hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih

4.      Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan tak sebidang.

5.      Diagonal Bidang yaitu garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan dalam satu bidang.

6.      Bidang diagonal adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah diagonal bidang dan dua buah rusuk yang saling berhadapan, dan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.

 

H. Jenis jenis Bangun Ruang

 Kubus

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki panjang rusuk yang sama serta merupakan bangun yang di batasi oleh enam buah sisi yang sama dan sebangun.

a.      Sifat – Sifat Kubus

Kubus memiliki beberapa sifat – sifat yang diantaranya yaitu:

1.      Mempunyai 6 sisi berbentuk persegi yang ukurannya sama luas

2.      Mempunyai 12 rusuk yang ukurannya sama panjang

3.      Mempunyai 8 titik sudut

4.      Mempunyai 4 buah diagonal ruang

5.      Mempunyai 12 buah bidang diagonal

 

B.    Balok

Balok ialah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk dari tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan setidaknya memiliki satu pasang di antaranya berukuran berbeda.

a.      Sifat sifat Balok

1.      Mempunyai 4 sisi  berbentuk persegi panjang (2 pasang persegi panjang yang ukurannya sama)

2.      Mempunyai 2 sisi yang bentuknya sama (1 pasang persegi panjang dengan ukurannya sama namun berbeda ukuran dengan 2 pasang persegi panjang yang lain)

3.      Mempunyai 12 rusuk yang ukurannya sama panjang

4.      Mempunyai 8 buah titik sudut

C.  Limas

Limas adalah sebuah bangun ruang 3 dimensi yang memiliki alas yang berbentuk segi banyak dan bidang tegaknya berbentuk segitiga dan salah satu sudutnya bertemu di satu titik.

a.           a. Sifat sifat Limas

1.      Mempunyai 5 sisi yaitu: 1 sisi berbentuk segiempat yang merupakan alas dan 4 sisi lainnya semuanya berbentuk segitiga serta merupakan sisi tegak.

2.      Mempunyai 8  buah rusuk

3.      Mempunyai 5 titik sudut yaitu: 4 sudut berada di bagian alas dan 1 sudut berada di bagian atas yang merupakan titik puncak

c.           b. Unsur-unsur Limas

1.       Titik sudut adalah pertemuan 2 rusuk atau lebih.

2.       Rusuk adalah garis yang merupakan perpotongan antara 2 sisi limas.

3.       Bidang sisi adalah bidang yang terdiri dari bidang alas dan bidang sisi tegak.

4.       Bidang alas adalah bidang yang merupakan alas dari suatu limas.

5.       Bidang sisi tegak adalah bidang yang memotong bidang alas.

6.       Titik puncak adalah titik yang merupakan titik persekutuan antara selimut-selimut limas.

7.       Tinggi limas adalah jarak antara bidang alas dan titik puncak

c. Jenis-jenis Limas

1.      Limas Segitiga

Limas segitia itu adalah limas yang mempunyai alas yang berbentuk segitiga, baik alasnya berbentuk segitiga sembarang, segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, maupun segitiga sama kaki.

 

a.   Sifat-sifat Limas Segitiga

1.      Memiliki 4 buah titik sudut, 3 buah titik sudut itu terdapat pada bagian alas kemudian 1 titik sudutnya berada di titik puncak

2.      Memiliki 6 buah jumlah rusuk

3.      Mempunyai 4 buah sisi yaitu 3 sisi tegak dan 1 buah sisi alas

2.      Limas Segiempat

Limas segi empat itu adalah limas yang mempunyai alas yang berbentuk segi empat, baik itu berupa persegi panjang, belah ketupat, jajar genjang, layang-layang, persegi dan lain sebagainya

 

a. Sifat-sifat Limas Segiempat

1.      Memiliki 5 buah titik sudut, 4 buah titik sudut itu terdapat pada bagian alas dan 1 buah pada bagian puncak

2.      Memiliki jumlah rusuk 8 buah

3.      Mempunyai 5 buah sisi, 1 sisi terdapat pada alas yang berbentuk segi empat kemudian 4 buah sisi lainya tegak yang memiliki bentuk segitiga

3.      Limas Segilima

Limas segi lima itu adalah bangun ruang limas yang memiliki alas yang bentuknya segi lima, baik itu segi lima sembarang maupun segi lima teratur.

 

a. Sifat-sifat Limas Segilima

1.      Mempunyai 6 buah titik sudut , 5 buah pada bagian alas sedangkan 1 buah sudut terdapat pada bagian puncak

2.      Mempunyai jumlah rusuk 10 buah

3.      Memiliki 6 buah sisi, 5 buah sisi terdapat pada bagian samping sedangkan 1 sisi lainnya terdapat pada bagian alas

4.      Limas Segienam

Limas segi enam itu merupakan limas yang mempunyai alas yang berbentuk segi enam, baik itu segi enam sembarang maupun segi enam teratur

 

a. Sifat-sifat Limas Segienam

1.      Mempunyai 12 Buah titik rusuk

2.      Memiliki 7 buah titik sudut, 6 buah titik sudut terdapat di bagian alas sedangkan 1 buah titik sudut terdapat pada bagian atas atau puncak

3.      Mempunyai 7 buah sisi satu sisi terdapat pada bagian alas sedangkan 6 buah sisi lain terdapat pada bagian samping

D.    Prisma

Prisma dapat didefinisikan sebuah hasil dari gabungan antara bangun datar 2 dimensi baik dari bangun datar persegi panjang atau bangun datar segitiga.

a.      Jenis-jenis prisma

1.      Prisma segitiga

a. Sifat prisma segitiga :

·         Prisma segitiga memiliki 5 buah sisi, 3 buah sisi disamping yang berbentuk persegi panjang, dan 2 buah sisi di alas dan atap berbentuk segitiga

·         Prisma segitiga memiliki 6 buah titik sudut

·         Memiliki 9 buah rusuk, dan 3 diantaranya adalah rusuk tegak

2.      Prisma segiempat

Istilah lain dari prisma segi empat adalah kubus atau balok

a. Sifat-sifat prisma segiempat

·         Memiliki 6 Buah sisi, 4 buah sisi di samping berbentuk persegi panjang dan 2 buah sisi di alas dan juga atap berbentuk segi empat

·         Prisma segi empat ini memiliki 8 buah titik sudut

·         Prisma segi empat ini memiliki 12 buah rusuk, 4 diantaranya merupakan rusuk tegak

 

3.      Prisma segilima

a. Sifat Prisma Segi Lima

·         Memiliki 10 buah titik sudut

·         Memiliki 15 rusuk, 5 buah rusuk diantaranya merupakan rusuk tegak

·         Memiliki 7 buah sisi, 5 buah sisi berada di samping berbentuk persegi panjang dan 2 buah sisi lain berada di alas dan atap berbentuk segi lima

 

4.      Prisma segienam

a. Sifat prisma Segi Enam

·         Memiliki 18 buah rusuk, dan 6 buah rusuk diantaranya merupakan rusuk tegak

·         Mamiliki 12 titik sudut

·         Memiliki 8 buah sisi, 6 buah sisi berada disamping dan memiliki bentuk persegi panjang dan 2 buah sisi lainnya berada di alas dan juga atap yang berbentuk segi enam

 

E.     Kerucut

Kerucut adalah salah satu bangun ruang yang mempunyai sebuah alas yang berbentuk lingkaran dengan selimut yang memiliki irisan dari lingkaran.

a.      Sifat-Sifat Kerucut

1.      Mempunyai 2 sisi (1 sisi merupakan alas yang berbentuk lingkaran dan 1 sisinya lagi berupa sisi lengkung atau selimut kerucut)

2.      Mempunyai 1 rusuk

3.      Mempunyai 1 titik sudut

 

b.      Unsur-unsur Kerucut

1)               Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran

2)               Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB.

3)               Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB.

4)               Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas garis CO).

5)               Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diraster.

6)               Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak C ke titik pada lingkaran.

Tabung

Tabung adalah sebuah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki tutup dan alas yang berbentuk lsebuah ingkaran dengan ukuran yang sama dengan di selimuti oleh persegi panjang.

a. Sifat-sifat Tabung

1.      Mempunyai 3 sisi  ( 2 sisi berbentuk lingkaran dan 1 sisi berupa selimut tabung )

2.      Mempunyai 2 rusuk

b. Unsur-Unsur Tabung

1.   Sisi alas, yaitu sisi yang berbentuk

2.   Selimut tabung, yaitu sisi lengkung tabung (sisi yang tidak diraster).

3.   Diameter lingkaran alas

4.   Jari-jari lingkaran alas (r)

5.   Tinggi tabung

  Bola

Bola ialah sebuah bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung.  

a.      Sifat Sifat Bola

1.    Bola tidak mempunyai rusuk.

2.    Bola juga tidak mempunyai sudut.

3.    Bola hanya mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.

4.    Bola juga mempunyai suatu diameter.

5.    Bola mempunyai 1 sisi lengkung yang tertutup.

 

b.      Unsur-Unsur Bola

1          Titik pusat bola : O

2          Jari-jari bola : ruas garis AO atau OB, CO atau DO

3          Diameter bola : ruas garis AB atau DC

4          Selimut atau kulit bola: kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O.

 

RANGKUMAN

Suatu bidang-banyak (polyhedron) adalah gabungan dari sejumlah terhingga (finite) daerah-daerah segibanyak, sedemikian, sehingga: setiap sisi dari suatu daerah segibanyak merupakan sebuah sisi dari tepat sebuah segibanyak yang lain, dan jika sisi-sisi dari daerah-daerah segibanyak tersebut berpotongan, maka sisi-sisi tersebut berpotongan pada satu titik atau pada sebuah sisi. Sedangkan Polyhidran adalah suatu bidang-banyak-konveks dikatakan beraturan, jika dan hanya jika, bidang-banyak tersebut permukaan-permukaan berupa daerah-daerah segibanyak beraturan dan setiap sudut-polihedralnya mempunyai sudut permukaan sama banyak.

Setiap bangun ruang (polihedron) yang tertutup tunduk pada suatu persamaan umum yang menghubungkan jumlah titik sudut, jumlah rusuk, dan jumlah sisinya. Persamaan itu dikenal dengan persamaan Euler untuk bangun polihedron. Rumus euler tersebut yaitu: V + F – E = 2.

            Jenis-jenis Polyhedron yaitu, tetrahedro, pentahedron, hexahedron, heptahedron, Octahedron, nanohedron, Decahedron, Undecahedron, Dodecahedron, Icosahedron. Adapun jenis-jenis Polyhedran yaitu, tetrahedron, heksahedron, octahedron, dodekahekdron, dan iksohedron.

            Macam macam bangun ruang diantaranya yaitu, kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut dan bola. Setiap bangun ruang tersebut memiliki jenis, unsur dan sifat-sifatnya masing-masing.

 

DAFTAR RUJUKAN

 

Bennett, Albert dkk . 2012 . Mathematics for Elementary Teachers . New York : The McGraw-   Hill Companies

Suharjana, Agus . 2008 . mengenal Bangun Ruang dan Sifat-Sifatnya di Sekolah Dasar . Yogyakarta : P4TK M