GEOMETRI BANGUN RUANG
1.
Pendahuluan
Bumi merupakan salah satu bentuk keruangan yang
menjadi tempat tinggal manusia. Keruangan lain yang bersangkutan dengan
kehidupan manusia seperti ruang makan, ruang tamu, ruang kelas, ruang kamar,
dan lain sebagainya. Benda-benda di sekitar kehidupan manusia pun tidak jauh
dari keruangan layaknya, TV, almari, kotak, kaleng, bak mandi, tangki air,
tempat tidur, kotak pensil, penghapus
papan, kotak kapur, meja, dan lain
sebagainya. Hal ini menunjukkan bahwa kehidupan manusia tidak dapat dilepaskan
dari keruangan.
Konsep keruangan adalah salah satu konsep dalam
matematika yang perlu untuk dipelajari. Konsep keruangan tersebut melibatkan
bangun ruang yang ada disekitar manusia. Bangun ruang sendiri adalah bangun yang masih bersifat
abstrak dan memerlukan penjelasan lebih lanjut. Diperlukan daya imajinasi yang
tinggi untuk mempelajarinya. Banyak siswa yang menganggap bahwa konsep
keruangan itu sulit karena siswa belum menggunakan daya imajinasinya sepenuhnya.
Untuk itu pemahaman keruangan perlu
dimantapkan melalui konsep geometri keruangan.
2. Materi
A. Pengertian Geometri
Bangun Ruang
Geometri
merupakan bagian matematika yang membahas tentang bentuk dan ukuran dari suatu
obyek yang memiliki keteraturan tertentu (Clemens, 1985). Bangun ruang adalah
bagian ruang yang dibatasi oleh himpunan-himpunan titik yang terdapat pada
seluruh permukaan bangun tersebut. Permukaan bangun itu disebut sisi. Bangun
ruang disebut juga sebagai bangun matematika yang memiliki isi atau volume.
B. Pengertian Polyhedron
Dalam geometri, polihedron adalah bangun ruang tiga dimensi dengan permukaan poligon datar (sisi),
tepi lurus (rusuk) dan sudut tajam. Kata polyhedron berasal dari bahasa Yunani
Klasik poly yang berarti banyak dan hedron yang berarti alas. Suatu bidang-banyak (polyhedron) adalah
gabungan dari sejumlah terhingga (finite) daerah-daerah segibanyak, sedemikian,
sehingga: setiap sisi dari suatu daerah segibanyak merupakan sebuah sisi dari
tepat sebuah segibanyak yang lain, dan jika sisi-sisi dari daerah-daerah
segibanyak tersebut berpotongan, maka sisi-sisi tersebut berpotongan pada satu
titik atau pada sebuah sisi. Suatu bidang-banyak mempunyai
bagian-bagian serupa dengan sebuah segibanyak.
a. Macam –
Macam Polyhedron
Seperti dalam bahasan segibanyak, klasifikasi
bidang-banyak didasarkan pada banyak permukaan (bidang-sisi)-nya, yaitu:
Jenis bidang-banyak (Polyhedron) |
Banyak Permukaan |
|
Bidang-empat |
Tetrahedron |
4 buah |
Bidang-lima |
Pentahedron |
5 buah |
Bidang-enam |
Hexahedron |
6 buah |
Bidang-tujuh |
Heptahedron |
7 buah |
Bidang-delapan |
Octahedron |
8 buah |
Bidang-sembilan |
Nanohedron |
9 buah |
Bidang-sepuluh |
Decahedron |
10 buah |
Bidang-sebelas |
Undecahedron |
11 buah |
Bidang-duabelas |
Dodecahedron |
12 buah |
Bidang-duapuluh |
Icosahedron |
20 buah |
Gambar jenis-jenis polyhedron
C. Pengertian
Polyhedra
Suatu bidang-banyak-konveks dikatakan beraturan,
jika dan hanya jika, bidang-banyak tersebut permukaan-permukaan berupa
daerah-daerah segibanyak beraturan dan setiap sudut-polihedralnya mempunyai
sudut
permukaan sama banyak. Hanya
ada lima kemungkinan polyhedran, yaitu terbentuk dari:
(1) tiga buah segitiga samasisi;
(2) empat buah segitiga
samasisi; (3) lima buah segitiga samasisi;
(4) tiga buah persegi;
(5) tiga
buah segilima beraturan
a. Macam – Macam Polyhedra
Jenis bidang banyak-beraturan (polyhedra) |
Banyak permukaan (sisi) |
|
Bidang-empat
beraturan |
Tetrahedran |
4 buah |
Bidang-enam
beraturan |
Hexahedra |
6 buah |
Bidang-delapan
beraturan |
Octahedral |
8 buah |
Bidang-duabelas
beraturan |
Dodecahedra |
12 buah |
Bidang-duapuluh
beraturan |
Icosahedra |
20 buah |
b.
c. Polyhedran
Semireguler
Beberapa polyhedra memiliki dua atau lebih
sisi dengan tipe poligon. Polyhedra yang
sisinya dua atau lebih poligon dengan susunan poligon yang sama di sekitar
setiap sudut disebut polihedra semiregular.
d.
e. Perbedaan
Polyhedron dan Polyhedra
Polyhedron |
Polyhedra |
Tersusun dari permukaan sisi yang bentuknya berbeda |
Tersusun dari permukaan yang bentuknya sama
(kongruen) |
Rusuknya memiliki panjang yang berbeda |
Semua rususknya sama panjang |
Sudut
permukaannya berbeda |
Semua sudut
permukaannya sama besar |
D. Segi
Banyak Konveks Dan Konkaf
A. Konveks
B. Konkaf
Suatu bangun
ruang dikatakan konkaf apabila memuat ruas garis yang menghubungkan dua titik
pada sisinya dengan sebagian atau seluruh garis tersebut terletak di bagian
luar bangun ruang.
E. Rumus
Euler
a.
Sejarah Euler
Leonhard Euler
dari Swiss dianggap sebagai penulis paling produktif dalam sejarah matematika.
Dia menerbitkan lebih dari 850 buku dan makalah, dan sebagian besar cabang
matematika berisi teorema-teoremanya. Leonardo sendiri adalah pencetus teorema
euler.
b.
Rumus Euler
Setiap bangun ruang (polihedron) yang tertutup tunduk pada suatu persamaan
umum yang menghubungkan jumlah titik sudut, jumlah rusuk, dan jumlah sisinya.
Persamaan itu dikenal dengan persamaan Euler untuk bangun polihedron. Rumus
euler tersebut yaitu:
V + F – E = 2 |
V = banyaknya titik sudut (vertex)
F = banyaknya permukaan atau sisi (face)
E = Banyaknya rusuk (edge)
Maksud yang ingin disampaikan oleh
rumus Euler ini adalah banyaknya titik sudut dikurangi banyaknya rusuk kemudian
ditambahkan dengan banyaknya permukaan akan selalu menghasilkan nilai dua.
Walau rumus Euler terlihat sangat sederhana, rumus ini merangkum sifat-sifat
bangun ruang.
Nama |
Gambar |
Sisi |
Titik
Sudut |
Rusuk |
Jumlah sisi + Titik sudut |
V + F
- E = 2 |
Limas Segitiga (Tetrahedron) |
|
4 |
4 |
6 |
4 + 4 = 8 |
4 + 4 - 6 = 2 |
Kubus (Heksahedron) |
|
6 |
8 |
12 |
6 + 8 = 14 |
6 + 8 – 12 = 2 |
Oktahedron |
|
|
6 |
12 |
8 + 6 = 14 |
8 + 6 – 12 = 2 |
Dodekahedron |
|
|
20 |
30 |
12 + 20 = 32 |
12 + 20 – 30 =
2 |
Ikosahedron |
|
|
12 |
30 |
20 + 12 = 32 |
20 + 12 – 30 = 2 |
F. Non-Simple
Polyhedron
Bangun ruang yang memiliki lubang di dalamnya. Bangun ruang ini tidak memenuhi rumus Eular karena rumus Eular hanya berlaku pada bangun yang tertutup.
Bangun non-simple Polyhedron ditunjukkan di bawah ini :
1. Sisi
adalah bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan
ruangan di sekitarnya
2. Rusuk
adalah pertemuan dua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang
3. Titik
sudut adalah titik dari hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih
4. Diagonal
ruang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling
berhadapan tak sebidang.
5. Diagonal
Bidang yaitu garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling
berhadapan dalam satu bidang.
6. Bidang
diagonal adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah diagonal bidang dan dua buah
rusuk yang saling berhadapan, dan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
H. Jenis jenis Bangun
Ruang
Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki panjang rusuk yang sama serta merupakan bangun yang di batasi oleh enam buah sisi yang sama dan sebangun.
a.
Sifat
– Sifat Kubus
Kubus memiliki beberapa sifat – sifat
yang diantaranya yaitu:
1. Mempunyai
6 sisi berbentuk persegi yang ukurannya sama luas
2. Mempunyai
12 rusuk yang ukurannya sama panjang
3. Mempunyai
8 titik sudut
4. Mempunyai
4 buah diagonal ruang
5. Mempunyai
12 buah bidang diagonal
B. Balok
a.
Sifat
sifat Balok
1. Mempunyai
4 sisi berbentuk persegi panjang (2
pasang persegi panjang yang ukurannya sama)
2. Mempunyai
2 sisi yang bentuknya sama (1 pasang persegi panjang dengan ukurannya sama
namun berbeda ukuran dengan 2 pasang persegi panjang yang lain)
3. Mempunyai
12 rusuk yang ukurannya sama panjang
4. Mempunyai
8 buah titik sudut
C. Limas
a.
a. Sifat
sifat Limas
1. Mempunyai
5 sisi yaitu: 1 sisi berbentuk segiempat yang merupakan alas dan 4 sisi lainnya
semuanya berbentuk segitiga serta merupakan sisi tegak.
2. Mempunyai
8 buah rusuk
3. Mempunyai 5 titik sudut yaitu: 4 sudut berada di bagian alas dan 1 sudut berada di bagian atas yang merupakan titik puncak
c.
b. Unsur-unsur Limas
1.
Titik sudut adalah pertemuan 2 rusuk atau
lebih.
2. Rusuk
adalah garis yang merupakan perpotongan antara 2 sisi limas.
3. Bidang
sisi adalah bidang yang terdiri dari bidang alas dan bidang sisi tegak.
4. Bidang
alas adalah bidang yang merupakan alas dari suatu limas.
5. Bidang
sisi tegak adalah bidang yang memotong bidang alas.
6. Titik
puncak adalah titik yang merupakan titik persekutuan antara selimut-selimut
limas.
7. Tinggi
limas adalah jarak antara bidang alas dan titik puncak
c.
Jenis-jenis Limas
1.
Limas segitia itu adalah limas yang mempunyai alas yang
berbentuk segitiga, baik alasnya berbentuk segitiga sembarang, segitiga
siku-siku, segitiga sama sisi, maupun segitiga sama kaki.
a. Sifat-sifat Limas Segitiga
1.
Memiliki 4 buah titik sudut, 3 buah titik
sudut itu terdapat pada bagian alas kemudian 1 titik sudutnya berada di titik
puncak
2.
Memiliki 6 buah jumlah rusuk
3. Mempunyai 4 buah sisi yaitu
3 sisi tegak dan 1 buah sisi alas
2. Limas
Segiempat
Limas segi empat itu adalah limas yang mempunyai alas
yang berbentuk segi empat, baik itu berupa persegi panjang, belah ketupat,
jajar genjang, layang-layang, persegi dan lain sebagainya
a. Sifat-sifat Limas Segiempat
1. Memiliki 5 buah titik
sudut, 4 buah titik sudut itu terdapat pada bagian alas dan 1 buah pada bagian
puncak
2. Memiliki jumlah rusuk 8
buah
3. Mempunyai 5 buah sisi, 1
sisi terdapat pada alas yang berbentuk segi empat kemudian 4 buah sisi lainya
tegak yang memiliki bentuk segitiga
3.
Limas Segilima
Limas segi lima itu adalah bangun ruang limas yang
memiliki alas yang bentuknya segi lima, baik itu segi lima sembarang maupun
segi lima teratur.
a. Sifat-sifat Limas Segilima
1. Mempunyai 6 buah titik
sudut , 5 buah pada bagian alas sedangkan 1 buah sudut terdapat pada
bagian puncak
2. Mempunyai jumlah rusuk 10
buah
3. Memiliki 6 buah
sisi, 5 buah sisi terdapat pada bagian samping sedangkan 1 sisi lainnya
terdapat pada bagian alas
4.
Limas Segienam
Limas segi enam itu merupakan limas yang mempunyai alas yang
berbentuk segi enam, baik itu segi enam sembarang maupun segi enam teratur
a. Sifat-sifat
Limas Segienam
1. Mempunyai 12 Buah titik
rusuk
2. Memiliki 7 buah titik
sudut, 6 buah titik sudut terdapat di bagian alas sedangkan 1 buah titik sudut
terdapat pada bagian atas atau puncak
3. Mempunyai 7 buah sisi satu
sisi terdapat pada bagian alas sedangkan 6 buah sisi lain terdapat pada bagian
samping
D.
Prisma
a.
Jenis-jenis
prisma
1.
Prisma
segitiga
a. Sifat prisma segitiga :
·
Prisma
segitiga memiliki 5 buah sisi, 3
buah sisi disamping yang berbentuk persegi panjang, dan 2 buah sisi di alas dan
atap berbentuk segitiga
·
Prisma
segitiga memiliki 6 buah titik sudut
·
Memiliki
9 buah rusuk, dan 3 diantaranya adalah rusuk tegak
2.
Istilah lain dari
prisma segi empat adalah kubus atau balok
a. Sifat-sifat prisma segiempat
·
Memiliki
6 Buah sisi, 4 buah sisi di samping berbentuk persegi panjang dan 2 buah sisi
di alas dan juga atap berbentuk segi empat
·
Prisma
segi empat ini memiliki 8 buah titik sudut
·
Prisma
segi empat ini memiliki 12 buah rusuk, 4 diantaranya merupakan rusuk tegak
3.
a. Sifat Prisma Segi Lima
·
Memiliki
10 buah titik sudut
·
Memiliki
15 rusuk, 5 buah rusuk diantaranya merupakan rusuk tegak
·
Memiliki
7 buah sisi, 5 buah sisi berada di samping berbentuk persegi panjang dan 2 buah
sisi lain berada di alas dan atap berbentuk segi lima
4.
a. Sifat prisma Segi Enam
·
Memiliki
18 buah rusuk, dan 6 buah rusuk diantaranya merupakan rusuk tegak
·
Mamiliki
12 titik sudut
·
Memiliki
8 buah sisi, 6 buah sisi berada disamping dan memiliki bentuk persegi panjang
dan 2 buah sisi lainnya berada di alas dan juga atap yang berbentuk segi enam
E.
Kerucut
Kerucut adalah salah
satu bangun ruang yang mempunyai sebuah alas yang berbentuk lingkaran dengan
selimut yang memiliki irisan dari lingkaran.
a.
1. Mempunyai
2 sisi (1 sisi merupakan alas yang berbentuk lingkaran dan 1 sisinya lagi
berupa sisi lengkung atau selimut kerucut)
2. Mempunyai
1 rusuk
3. Mempunyai
1 titik sudut
b. Unsur-unsur
Kerucut
1)
Bidang alas,
yaitu sisi yang berbentuk lingkaran
2)
Diameter bidang
alas (d), yaitu ruas garis AB.
3)
Jari-jari bidang
alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB.
4)
Tinggi kerucut
(t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas garis
CO).
5)
Selimut kerucut,
yaitu sisi kerucut yang tidak diraster.
6)
Garis pelukis
(s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak C ke
titik pada lingkaran.
Tabung
Tabung adalah sebuah
bangun ruang tiga dimensi yang memiliki tutup dan alas yang berbentuk lsebuah
ingkaran dengan ukuran yang sama dengan di selimuti oleh persegi panjang.
a.
Sifat-sifat Tabung
1. Mempunyai
3 sisi ( 2 sisi berbentuk lingkaran dan
1 sisi berupa selimut tabung )
2. Mempunyai
2 rusuk
b.
Unsur-Unsur Tabung
1. Sisi alas, yaitu sisi yang
berbentuk
2. Selimut tabung, yaitu sisi lengkung
tabung (sisi yang tidak diraster).
3. Diameter lingkaran alas
4. Jari-jari lingkaran alas (r)
5. Tinggi tabung
Bola ialah sebuah
bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung.
a.
Sifat
Sifat Bola
1. Bola
tidak mempunyai rusuk.
2. Bola
juga tidak mempunyai sudut.
3. Bola
hanya mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.
4. Bola
juga mempunyai suatu diameter.
5. Bola
mempunyai 1 sisi lengkung yang tertutup.
b. Unsur-Unsur
Bola
1
Titik pusat bola
: O
2
Jari-jari bola :
ruas garis AO atau OB, CO atau DO
3
Diameter bola :
ruas garis AB atau DC
4 Selimut atau kulit bola: kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O.
RANGKUMAN
Suatu bidang-banyak
(polyhedron) adalah gabungan dari sejumlah terhingga (finite) daerah-daerah
segibanyak, sedemikian, sehingga: setiap sisi dari suatu daerah segibanyak
merupakan sebuah sisi dari tepat sebuah segibanyak yang lain, dan jika
sisi-sisi dari daerah-daerah segibanyak tersebut berpotongan, maka sisi-sisi
tersebut berpotongan pada satu titik atau pada sebuah sisi. Sedangkan Polyhidran
adalah suatu
bidang-banyak-konveks dikatakan beraturan, jika dan hanya jika, bidang-banyak
tersebut permukaan-permukaan berupa daerah-daerah segibanyak beraturan dan
setiap sudut-polihedralnya mempunyai sudut permukaan sama banyak.
Setiap
bangun ruang (polihedron) yang tertutup
tunduk pada suatu persamaan umum yang menghubungkan jumlah titik sudut, jumlah
rusuk, dan jumlah sisinya. Persamaan itu dikenal dengan persamaan Euler untuk
bangun polihedron. Rumus euler tersebut yaitu: V + F – E
= 2.
Jenis-jenis Polyhedron yaitu, tetrahedro, pentahedron, hexahedron, heptahedron, Octahedron, nanohedron, Decahedron, Undecahedron, Dodecahedron, Icosahedron.
Adapun jenis-jenis Polyhedran yaitu, tetrahedron, heksahedron, octahedron,
dodekahekdron, dan iksohedron.
Macam
macam bangun ruang diantaranya yaitu, kubus, balok, prisma, limas, tabung,
kerucut dan bola. Setiap bangun ruang tersebut memiliki jenis, unsur dan
sifat-sifatnya masing-masing.
DAFTAR
RUJUKAN
Bennett, Albert dkk . 2012 . Mathematics for Elementary Teachers . New York : The McGraw- Hill Companies
Suharjana, Agus . 2008 . mengenal Bangun Ruang dan Sifat-Sifatnya di Sekolah Dasar .
Yogyakarta : P4TK M